Перевод бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную. Часть1.

Дорогие друзья, всем привет!

В этой статье и прилагаемом видео мы поговорим с вами о том, как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную. На протяжении трех видеоуроков мы  постараемся разобрать различные примеры, двигаясь от простого к сложному. Для начала введем несколько определений.

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой есть целая степень числа 10. Десятичная дробь записывается  без знаменателя и при ее написании, отделяют запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе.
Бесконечной десятичной дробью называют такую десятичную дробь, которая содержит бесконечное количество цифр после запятой. Если у бесконечной десятичной дроби одна или несколько цифр повторяются, то такая дробь называется периодической десятичной дробью.
Повторяющаяся цифра или группа цифр называются периодом и записывается в скобках.

Например:  32,61616161…. = 31,(61)

В приведенном  примере: 32 – это целая часть числа, а дробная, 61, повторяется бесконечное число раз.

еще один пример:  0, 235555555… = 0,23(5)

Здесь повторяющееся число 5, поэтому 23 мы в скобках не пишем, а пишем только 5, он и является периодом.

Прежде чем изучать эту сложную тему, было бы неплохо повторить такие темы из курса «дробей», как сложение дробей и вычитание дробей.

А теперь перейдем непосредственно к способам перевода бесконечной десятичной дроби.

Давайте переведем число 0,(7)  в обыкновенную дробь.
Обозначим за х = 0,7777777
Хочу сразу обратить ваше внимание на то, что при решении примеров с периодами абсолютно не принципиально, сколько повторяющихся цифр периода вы напишите 3, 5 или 10. Т.к. дробь бесконечная, естественно, что цифры в периоде повторяются до бесконечности.
Теперь давайте умножим обе части уравнения на 10, т.е. 10х = 7,7777

Слева получаем 10х , а справа у нас получается 7, (7).
Дальше нам необходимо найти разность между десять икс и икс. Т.е. от семи целых и семь в периоде, мы отнимаем ноль целых и семь в периоде. Таким образом, девять икс равно семи и разделив обе части на 9, получается, что икс равно семь девятых.

Сделаем проверку полученного результата и разделим семь на девять. Это можно сделать столбиком или на калькуляторе. Но в любом случае, вы получите 0, (7).

Стоит обратить внимание на следующее (рисунок справа на синем фоне): в периоде у нас цифра 7, она оказалась в числителе дроби, а в знаменателе стоит столько цифр 9, сколько в периоде, т.е. одна.

Рассмотрим следующий пример, 0,(5).

Как и в прошлый раз, обозначим за икс десятичную периодическую дробь ноль целых и пять в периоде. атем умножим обе части уравнения на десять, т.о. у нас запятая передвигается на одну позицию вправо. Находим разность между 10 икс и икс. Получается, что девять икс равно пяти. Чтобы найти неизвестный множитель, мы произведение, т.е. 5, делим на известный множитель 9.

Проведем проверку: пять делить на девять, можно столбиком или на калькуляторе, получается ноль целых и пять в периоде.

Давайте проанализируем результат (картинка справа на синем фоне): в числителе полученной обыкновенной дроби мы видим наш период, цифру пять, а в знаменателе столько цифр девять, сколько цифр в периоде, т.е. выявляется некоторая закономерность, о которой мы поговорим немного попозже.

Переведем в обыкновенную дробь 0,(35), т.е. в периоде уже две цифры.

Обозначим за х = 0,353535

десятичную периодическую дробь, а потом умножим обе части уравнения на 100. Именно на сто, а не на 10, как в первых примерах, т.к. период состоит из двух цифр и нам надо переместить запятую на 2 позиции вправо.

Т.о. 100х = 35,353535

Найдем разность: 100х — х = 35,353535 — 0,353535

99х = 35

х = 35/99

Сделаем проверку и разделим 35 на 99. Получим ноль целых и тридцать пять в периоде.

Давайте проанализируем полученный результат: в числителе дроби мы получили число, стоящее в периоде, это 35, а в знаменателе дроби число 99, т.е. число состоящее из двух цифр девять, получается, что столько девяток, сколько цифр в самом периоде.

В следующих видео мы продолжим изучать перевод бесконечной десятичной дроби в обыкновенную, но уже на более сложных примерах.

Спасибо, что поделились статьей с друзьями!



 

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

5 комментариев к записи “Перевод бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную. Часть1.”

  1. ПЧ:

    Я, конечно, не на математика учился, но всё же у меня довольно крутое образование. Я раньше так думал… Пока эту статью не прочитал. Оказывается, я даже с дробями работать не умею,столько лет прожил а про обратный перевод бесконечных периодических дробей в обыкновенные даже не подозревал.

    • Я думаю, дело не в Вас, а в школьной программе. То, что изучали мы в рамках советской системы образования, сильно отличается от того, что изучается сейчас. Другая расстановка акцентов, другие отношения между учителями и учениками. И очень жаль, что из школьного курса убрали черчение. Насколько проще было формировать объемное и образное мышление, когда этим занимались 2 предмета: геометрия и черчение.

  2. ПЧ:

    Да, раньше математики больше было, ещё и астрономия.
    Не слышал, что черчение отменили. Мне черчение нравилось, только я совсем рисовать не умею. Объёмное мышление есть, но изложить его на бумагу не могу :-).

  3. Александер:

    Черчение в школах сейчас преподают в виде элективных или факультативных курсов, а это 15-40 часов, у кого как, за которые надо умудриться многому научить. И лишь немногие школы, в основном, технической направленности, вводят этот предмет. А многие школы отказались от него полностью.

  4. Ольга:

    Отличное видео! Пригодится при подготовке к экзамену.

Оставить комментарий